Optimal Vwap Trading Strategia E Relativo Volume

Ottimale Strategia VWAP Trading e relativo volume Abstract: Volume Weighted Average Price (VWAP) per un titolo è totale scambiato diviso per il volume totale scambiato. Si tratta di una semplice qualità di misura di esecuzione popolare con operatori istituzionali per misurare l'impatto dei prezzi di stock trading. Questo documento utilizza ottimizzazione classica media-varianza per sviluppare strategie VWAP che tentano di commerciare al meglio del VWAP mercato. Queste strategie dovrebbero exploit dei prezzi deriva in volume ottimale caricamento frontale o back-caricamento scambiati dalla strategia minima rischio VWAP. Lavori collegati: Questo articolo può essere disponibile altrove in EconPapers: Ricerca di oggetti con lo stesso titolo. Export di riferimento: BibTeX RIS (nota, ProCite, RefMan) HTMLText Altri documenti in Research Paper Series dal Centro di Finanza Quantitativa Research, University of Technology, Sydney PO Box 123, Broadway, NSW 2007, Australia. Informazioni di contatto a EDIRC. dati Serie mantenuti da Duncan Ford (). Questo sito è parte di RePEc e tutti i dati visualizzati qui fa parte del set di dati RePEc. È il vostro lavoro manca da RePEc Ecco come contribuire. Per domande o problemi Controllare la EconPapers FAQ oppure invia una mail to. Optimal VWAP strategia di trading e relativa trascrizione Volume 1 Quantitative Finance CENTRO RICERCHE Quantitative Finance CENTRO RICERCHE Research Paper 21 Sepember 27 Opimal VWAP Trading Sraegy e Relaive Volume James McCulloch e Vladimir Kazakov ISSN 2 Opimal VWAP Trading Sraegy e Relaive Volume James McCulloch Vladimir Kazakov Augus, 27 Absrac Volume pesato Prezzo medio (VWAP) per un calzino è OAL valore raded diviso per il volume raded OAL. I è un semplice qualiy di misura di execuion popolari wih Raders insiuional o misura ha prezzo IMPAC di rading calzino. Questo documento utilizza classici media-varianza opimizaion o sviluppare VWAP sraegies ha AEMP o rade una birra han che Marke VWAP. Questi sraegies allo sfrutta expeced drif prezzo da opimally fron-carico o di back-caricamento raded volumi da lui sraegy minimo rischio VWAP. c Copyrigh James McCulloch, Vladimir Kazakov, 27. Conac 1 3 1 Inroducion e Moivaion Volume valore medio ponderato Prezzo (VWAP) Rading è utilizzato da grandi (insiuional) Raders o rade ordini di grandi dimensioni in markes finanziari. Implici in lui uso del VWAP Rading è lui recogniion ordini di grandi dimensioni HA raded in markes finanziari possono Rade un prezzo inferiore rispetto una o più piccoli ordini. Questo è noto come egli liquidiy cos IMPAC o cos Marke IMPAC di rading ordini di grandi dimensioni. ordini VWAP AEMP o affrontare i suoi cos da bench-marking ha prezzo di rading ha grandi agains ordine che il volume pesato prezzo medio di tutte Rades in un determinato periodo di ime (generalmente 1 giorno Rading). Questo consente a qualsiasi coss IMPAC liquidiy associaed wih rading ha grande ordine o essere quanified. VWAP Rading riconosce anche lui ha tasto o minimizzare ueste coss è o rompere le grandi ordini fino ino una serie di sotto-ordini execued oltre che VWAP periodo in modo tale da ridurre al minimo o insananeous domanda liquidiy. Il prezzo VWAP come qualiy di misura di execuion è stato sviluppato da abeti Berkowiz, Logue e Noser 4. Essi sostengono (pagina 99) ha un Marke IMPAC MISURE sysem richiede un prezzo di riferimento ha è un esimae imparziale dei prezzi ha potrebbe essere raggiunto in qualsiasi relevan rading periodo da qualsiasi Rader seleced in modo casuale e la gallina definiscono VWAP come un punto di riferimento ha appropriae saisfies suo crieria. Un documento imporan nella modellazione VWAP è stato wrien da Hizuru Konishi 15 che ha sviluppato una soluion o ha minima VWAP rischio Rading sraegy per un processo prezzo modellato come browniano drif moion wihou (dp Sigma DW). Nel suo articolo ha soluion è generalizzato o un processo ha prezzo è un semimaringale coninuous, P A M P, dove A è il prezzo drif, M è un maringale e P è lui prezzo iniial. Mi è provato ha prezzo drif A non fa alcun rischio conribue o VWAP. Il relaive processo di volume X è anche inroduced, definito come INRA giorni volumi cumulaive V diviso per OAL finale T. volume di XVV I è disegnata VWAP HA è naurally definito utilizzando relaive volume di X raher han volume di cumulaive V. Il problema rading minimo rischio VWAP è generalizzato ino ha opimal VWAP problema rading utilizzando un framework media-varianza. Il Rading sraegy opimal VWAP x qui diventa un funcion di un Rader definito avversione al rischio coefficien lambda. Questo è perché relevan Rades VWAP sono Ofen grandi Rades insiuional e lui dimensioni che VWAP rade iself può essere prezzo sensiive informaion ha egli VWAP Rader può allo sfrutta per lui benefi della sua clien. Il sraegy opimal è gallina obained per Rading VWAP cui 2 4 include prezzo expeced drif EA oltre che VWAP rading periodo. Questo può essere espresso in seguito media-varianza opimizaion (subjec o consrains su sraegy x) dove V (x) è lui differenza beween VWAP raded e marke VWAP come funcion di lui rading sraegy x. x max E V (x) lambda Var V (x) x I è disegnata ha per tutte le fattibile VWAP sraegies Rade x qui è sempre il rischio VWAP residuale. Questo è mostrato rischio residuo o essere proporional o ha prezzo varianza sigma 2 di lui calzino e varianza egli processo del volume relaive varX. Quando relaive varianza processo volume è empiricamente esaminata in secion 3 i è trovato o essere proporional o ha inverso del calzino finale rade Cone K sollevato o ha power.44. Questo è di imporance Raders o VWAP perché formalizza ha inuiion ha rischio VWAP raded è più bassa per le calze alte urnover. min x Varv (x) Sigma 2 T varX d sigma2 K.44 Infine, viene esaminato un pracical sraegy VWAP Rading utilizzando bidoni Rading. Il addiional bin basato sul rischio VWAP usare discree contenitori di volume o VWAP Rade è mostrato O O (n 2) per un approximaion n bidone di lui opimal coninuous VWAP Rading sraegy x. 2 Modellazione VWAP Il modello VWAP sochasic si basa su lui filered spazio probabiliy wih ha osservato progressiva filraion F, (Omega, F, F F, P). Il modello definisce anche un filraion G iniially ampliato dalla conoscenza di lui ultimo volume raded di lui VWAP calza G F sigma (v T). Il resulan filered spazio probabiliy (Omega, F, GG, P) viene utilizzato o definire VWAP con lui relaive processo Volume X. 3 5 2.1 Un Sochasic Modello di prezzo P sarà assunto Il processo prezzo P o essere un posiive sricly, coninuous ( speciale) semimaringale wih Doob-Meyer decomposiion: PPAMP gt Dove a è il prezzo drif, M è un maringale e P è colui prezzo iniial. 2.2 Un modello di Sochasic Relaive volume volume di X Cumulaive arriva in lui Marke Rades come discree, il suo suggess ha egli cumulaive volume di processo V dovrebbe essere modellato come un processo poin marcato. Un modello molto generale del processo poin è lui COX 1 processo poin (chiamato anche lui doppiamente sochasic processo poin Poisson, una semplice (non Poins concomitanti) processo poin wih un inensiy casuale generale. Il processo di Cox è stato utilizzato o rade modello da rade comportamento Marke da un certo numero di ricercatori marke finanziari, tra cui Engle e Russell 1, Engle e Lunde 1, Gourieacuteroux, Jasiak e Le Fol 11 e Rydberg e Shephard 18. Se Rade Cone N è modellata come un processo Cox, rade gallina INRA giorni Coun possono essere scalati OA relaive Cone rade da lui semplice expedien di dividere lui INRA giorni Cone (N un K) da lui def Cone rade (NTK). Questo definisce lui relaive rade processo Coun R, KNNT a. Il processo poin resulan è non è più lui processo di Cox come il suo è stato ransformed ino un processo poin binomio doppiamente sochasic dalla conoscenza di colui finale Cone rade ampliando ha osservato filraion F sigma (n T) (McCulloch 16). Bu ha objec di ineres quando execuing un rade VWAP è non relaive rade Coun R, K BU ha stretto relaed relaive X. volume Questa può essere modellata da un processo poin marcato in cui ogni occorrenza o poin è associaed wih un valore casuale (egli marchio) represening del volume rade. Così ogni rade è specificato da una coppia di valori su uno spazio produ, ha ime di accadimento e un valore di contrassegno (ineger) che specifica che il volume di lui rade R Z. 1 Nominato un processo di Cox in recogniion di David Cox s 1955 9 carta che ha inroduced doppiamente sochasic processo poin Poisson. 4 6 V N i1 Il volume relaive X è gallina ha Raio di una somma casuale specificato da lui doppiamente sochasic processo poin binomio mentre macinato processo oltre che somma non casuale di tutti i volumi Rade. V i X V V T N i1 V i K I1 V i Il processo di volume relaive X è lui cumulaive processo di volume ransformed dalla conoscenza del volume finale (e hus Consi rade finale) ed è adaped o G F sigma (v T). Noe X è un semimaringale colpa del respec o G perché la sua filraion è ampliato da lui sigma algebra generaed da una variabile casuale, ultimo volume V T, wih una serie counable di possibili valori (corollario 2, pagina 373 Proer 17). 2.3 Un Sochasic Inegral Modello del VWAP One ha ragioni per lui populariy di VWAP come una misura di ordine execuion qualiy è lui simpliciy di i s definiion - ha il valore di tutti OAL 2 Rades divisi da lui OAL volume di tutti i Rades. Se P I e V i sono che prezzo e di volume respecively di lui N Rades in lui VWAP periodo, gallina VWAP è facilmente compued come: VWAP OAL valore raded OAL raded volume N i1 P i v i N i1 V i Alernaively ha definiion del VWAP può essere wrien in coninuous noaion ime. Le V sia egli il volume cumulaive raded un ime e P essere lui 2 Non tutti i Rades acceped come ammissibile in un calculaion VWAP. Rades ammissibili sono deermined da Marke convenion e sono generalmente Rades on-Marke. Off-Marke Rades e incroci sono generalmente esclusi da lui VWAP calculaion perché Rades ueste sono Ofen un prezzo da lui Curren Marke e il volume rappre in cui un seleced in modo casuale, piuttosto 4 canno paricipae. 5 7 ime prezzo che varia su un marke HA Rades su lui ime inerval, T. Poi VWAP è definita da lui Riemann-Sieljes inegral. VWAP OAL valore raded OAL raded Volume 1 VTTP dv (1) L'esame ha inegral sopra, i è ha inuiive i relaes o ha relaive T. processo di volume XVV Utilizzando ha heory di enlargemen iniial di filraion (vedi Jeulin 14, Jacod 12, Yor 19 e Amendinger 2) VWAP può essere espressa in erms di X. VWAP TP dx (2) Proof. L'ha asserion ha VWAP variabile casuale è lui stesso a equaions 1 e 2 sotto filraions F e G respecively è dimostrato in lui assumpion ha egli processo prezzo P è independen di lui volume finale variabile casuale, sigma (p) sigma (v T), , T. Ciò implica ettari P è anche un semimaringale G wih lui stesso Doob-Meyer decomposiion come F (heorem 2, pagina 364, Proer 17). Indipendenza wih V T implica ha egli processo prezzo P è invariato da lui ampliata filraion G. Cumulaive volume V arriva a lui Marke Rades come discree ed è modellato come un processo poin marcato (vedi secion 2.2). Noing ha V come un processo salto puro ha variaion finie sotto filraion F e ampliò filraion G, i è prontamente mostrato ettari ha inegrals Riemann-Sieljes di inegrand prezzo P (invariato da lui ingrandita filraion) e inegraor volume V sono equivalen wih respec lui filraion F e ha ampliato filraion G. Le Tau io, 1. N egli sia N saltare imes per lui processo di volume V in poi inerval, e V i egli sia corrispondente magniudes salto. Poi inegrals ha Riemann-Sieljes wih respec o lui filraions F e G sono equivalen o egli stesso somma di Riemann-Sieljes perché ha il volume di salto imes e magniudes V i sono gli stessi in filraions boh e lui processo prezzo è lui stesso a filraions BOH (da assumpion). P s dv s FN i1 P taui V i P s dv s G 6 8 Noing ettari ha ERM (1V T) è adaped o G. 1 VTP s dv s FP s dv s VTGP s dx s G Questa è una insigh chiave, VWAP è naurally definita utilizzando relaive volume di X raher han acual volume di V. Uno implicaion di utilizzare il volume relaive è hA feaures comuni inraday relaive in lui tutti i giorni Rading di calze wih differen urnovers Absolue possono essere exploied per VWAP Rading. Inoltre, egli differenza beween VWAP raded e marke VWAP come funcion di lui rading sraegy V (x) è convenienly definita usando il volume relaive. V (x) T P dx T P dx T P d (x X) Utilizzando inegraion dalla pars 3, il suo inegral può essere ransformed ino un covariaion inegral e quadraic sochasic. V (x) TTP d (x X) PT (x XT) (x X) dp x X, PT Dove x X, denoes P ha covariaion processo beween x X e P. Da quando processo prezzo P è coninuous, ha il volume relaive x è assunto o essere un processo marcato poin (puro salto) e x è deerminisic, ha quadraic covariaion ERM è pari a zero. noing Inoltre ha PT (x TXT) ha inegraion da equaion pars semplifica o: V (x) T (X x) dp (3) 3 La inegrand di lui sochasic inegral X è una versione LEF coninuous (prevedibile) di lui processo di volume relaive X, dove X è definito per come ha LEF limi di X, X lim s X s. 7 9 3 empirici Properies di Relaive Volume volume di X Relaive come couns Rade auto-normalizzato è stato analizzato in McCulloch 16, dove deails di empirica Collecion e l'analisi daa possono essere trovati. In breve, New York Sock Exchange (NYSE) Rade daa da lui TAQ daabase è stato utilizzato o Raccolte di volume rade relaive daa di tutti i calzini ha raded dal 1 21 giugno o 31 Augus 21 (a OAL di 62 giorni Rading 4) per un OAL di 23.158 campione del volume rade relaive IPA per tutti i calzini. Il relaive daa volume di rade stato colleced in una colpa del ime D hisogram a minues (39 minues 1 end-Poin) in lui asse X e il volume relaive (un numero primo 251 o Evitare confini bin, più wo finali Poins) in lui y - asse. 3.1 Expeced Relaive volume ex è S a forma di Tutti Raders equiy professionisti sanno Markes HA sono, in media, impegnato in marke aperta e Marke vicino e meno impegnati durante lo mezzo di lui rading giorno. Questi è colui classica forma di U in Rading inensiy si trovano in tutte le principali Markes equiy 5 ed è, da definiion, ha derivaive di lui expecaion di lui relaive volume di dex d. Figura 1 PLoS ha expeced relaive EX volume per quattro gruppi di calze wih gamme differen di couns Rade su lui NYSE. Il expecaion di EX volume di relaive può essere approximaed wih he he seguente polinomio. EX 5 3T 22 T., T. (4) 3T calzini elevato turnover hanno una minore varX Il secondo feaure di daa empirica facilmente visto nella figura 2 è ettari ha bassa calzino urnover (SUS) appare o hanno un volailiy superiore di circa il che significa il volume relaive (mostrato wih linea rossa) han ha elevato urnover calzino (TXN). 4 3 21 luglio (mezza giornata rading) e l'8 21 giugno (NYSE compuer problemi di mal funzionamento ritardata apertura Marke) sono stati esclusi da lui analisi. 5 Per la discussione Fuhrer e explanaions di lui cause di lui a forma di U inraday marke seasonaliy vedere Brock e Kleidon 5, Admai e Pfleiderer 1 e Coppejans, Domowiz e Madhavan 8. 8 10 NYSE medio Relaive Volume wih tendenza lineare Rimosso EX () - T. 8 Variaion da lineare Time.6 commerciale Coun banda 51-1 11-2 Compravendite Compravendite Compravendite Trades.2 Analyic Circa. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Tempo Figura 1: La media di colui relaive EX volume per calzini wihin numero medio differen di Rades quotidiane. Qui Consan linea rade è stato subraced, E X T (quindi tutti i mezzi sono in aumento monoonically funcion di ime). Il approximaion polinomiale (EQN 4) viene mostrato come egli linea nera. Questo inuiion è correc ed è lui secondo imporan Rading insigh ino VWAP - ha volailiy di lui relaive processo di volume X di calzini bassi urnover è superiore calzini alta urnover han. La figura 3 mostra che ime empirica varianza indicizzato di lui relaive processo di volume varX per gli intervalli differen di numero di Rades quotidiane. Mi ha una forma invered U, dove la varianza è pari a zero un e T, simili o ha ime indicizzato varianza di un ponte browniano. Calze wih un numero inferiore di Rades quotidiane hanno maggiore varianza. Le variazioni di lui relaive processo di volume per i calzini wih un Cone differen finale rade K può essere scalata empiricamente o fi un'unica curva moltiplicativo orlo Cone Rade finali sollevato o ha power.44 (K.44). Figura 4 PLoS ha scalato le varianze empirici. 9 11 1.8 Media SUS TXT TXN Esempio calzino Inraday Relaive Volume Trajecories Relaive Volume Execued. 11: 12: 13: 14: 15: 16: Figura 2: Questo grafico mostra ypical rajecories volumi relaive per 3 calzini represening basso, medio e alto calzini urnover. La linea rossa è lui expeced relaive EX volume per tutti i calzini rading più han 5 Rades un giorno in poi NYSE oltre che periodo di daa. SUS è Sorage Stati Uniti d'America, TXT è Texron Incorporaed e TXN è il Texas Insrumens. Il 2 lug 21 ueste calzini registrati 11, 946 e 2183 Rades corrispondentemente. 1 12 NYSE Non in scala Relaive Volume varianza varX () 4. 3.5 3. Il commercio Coun Banda 51-1 11-2 Rades Rades 21-4 Rades Rades 2,5 varianza 2. 1.5 1..5. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Tempo Figura 3: La varianza ime-indicizzato forma inversa U per relaive il volume Var X. bassi calzini rade Coun hanno una maggiore varianza per Var X. NYSE Relaive Volume varianza varX () Scaled per differen finali Cons compravendita da K.44 commerciale Cone Banda 51-1 11-2 Rades Rades Rades Rades 21-4 in scala varianza 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Tempo Figura 4: Il volume relaive scalato varianze var x K. 44 per i calzini wih gamme differen di couns Rade finali K. 11 13 4 VWAP Trading Sraegies 4.1 Trading fattibile Sraegies Qualsiasi deerminisic Rading sraegy x è fattibile solo se mi è conforme o che abeti consrain di seguito. La seconda e la Hird consrains sono sricly necessari bu applicare un sraegy uni-direcional Dove acquistare Raders VWAP solo comprare calze e venditori di vendere solo i calzini. 1. Trader sars rading ha VWAP sraegy una quando x e ha raded intero ha sraegy una T quando x T Il volume relaive perché sraegy mus sempre beween zero (nohing è stato raded) e uno, il volume ogni ordine s è stato raded, x 1,, T. 3. Il sraegy mus essere monoonically non decrescente, xx delta VWAP commerciale Dimensioni I è inuiive e rue ettari ha greaer percenage di rading hA lui conrols VWAP Rader, lui più facile i è o rade un lui Marke prezzo VWAP. In lui limi, ha Rader conrols 1 di volume di raded e deermines exacly lui Marke VWAP irrespecive di rading sraegy. Mi sembra evidente rischio ha VWAP è proporional o ha raded del volume ha lo VWAP Rader non fa conrol e la sua inuiion è quanified seguito. Il processo di volume relaive di oher Raders marke X sarà assunto o essere independen di lui rading sraegy x limitato ADOTTATA DA ha VWAP Rader. Marke relaive processo volume di X può essere wrien come somma pesata di lui relaive volume di oher paricipans marke X e lui VWAP Rader x. Se V è lui cumulaive processo volume di ettari non include VWAP del volume Rader, gallina ha il volume relaive di marke Oher paricipans X è definito: XVVT 12 14 Allo stesso modo egli relaive volumi sraegy di lui VWAP Rader è semplicemente che Rader finale cumulaive volume V T diviso in volume cumulaive un ime, v. xvv T La proporion 6 beta di lui marke OAL raded da lui VWAP Rader può essere calculaed. beta v V T v T Il volume relaive OAL expeced (conosciuto in G) può essere scomposta ino ha relaive processo volume di oher paricipans marke X e lui deerminisic rading sraegy di lui VWAP Rader. X (1 beta) X BETAx Utilizzando lui definiions sopra, V (x) può essere rewrien come: V (x) T (X x) dp (1 beta) T (X x) DP ha seguito exposiion i presume ha beta LTLT 1 e tutti i ERMS (beta) o vengono ignorati. 4.3 Il rischio del VWAP Sraegies Il rischio di VWAP raded wih rading sraegy x è prontamente espressa utilizzando equaion 3. Var V (x) Var (X x) dp 6 Noe ha beta è conosciuto sotto ampliò filraion GF sigma (v T) e una variabile casuale sotto F. 13 15 Utilizzo egli semimaringale generalizaion di Io s isomeria sua varianza può essere wrien come: Var (x x) dp E (x x) 2 dp, P da quando ha prezzo semimaringale P si presume coninuous, ha drif ERM A è coninuous e mi viene dimostrato di seguito ha lo drif ERM non fa conribue o rischio VWAP e ha egli rischio VWAP possono essere wrien jus con lui maringale componen di lui Doob-Meyer decomposiion. P M A P Var (X x) dp E (X x) 2 dm, M (5) Proof. I inegrands di eqn 5 sono idenical, così da lui properies di lui Riemann-Sieljes inegral, ha equaliy di eqn 5 è esablished se wo inegraing processi, egli quadraic variaions, sono uguali (ae) M, MP, pag Utilizzando ha polarizaion ideniy per covariaion quadraic. A, M 1 2 (A M, A M M, M A, A) Il processo drif A è coninuous da assumpion e herefore lui quadraic covariaion ERM è pari a zero (Jacod e Shiryaev 13, pagina 52) A, M. Anche lui drif processo A è prevedibile, coninuous e di variaion limitata in modo da DRIF quadraic variaion ERM è pari a zero (Proer 17, heorem 22, pag 66) A, A e lui polarizaion ideniy semplifica o: p, PAM, AMM, M 14 16 Dal momento che maringale ERM di lui processo prezzo è coninuous ha maringale represenaion heorem (Proer 17, heorem 43, pagina 188) può wrien come segue per un coninuous Sigma processo prevedibile. M sigma s DW s Usando la sua represenaion, ha VWAP varianza di equaion 5 può essere Fuhrer semplificata: Var V (x) E (X x) 2 dm, ME (X x) 2 sigma 2 d (6) 4.4 minimo rischio VWAP Sraegy mi sembra ragionevole ha un opimal rading sraegy x è un sraegy ettari è vicino o x wihou alcuna conoscenza di lui acual oucome di X. Così opimal rading sraegy dovrebbe essere, per inuiion, vicino o ha expecaion volume relaive x EX. Questo è mostrato di seguito. Dopo Konishi 15 ha equaion può essere scomposta come: x min x 1 Var V (x) min x 1 (X) 2 E 2x X x 2 sigma 2 d min x 1 x 2 E sigma 2 2 x EX sigma 2 d min x 1 min x 1 (E Sigma 2 x 2 ex Sigma 2 2 x E Sigma 2 (x EX) Sigma 2 2 d E Sigma EX sigma 2 2 E sigma 2 2) EX Sigma 2 2 E sigma 2 d 17 Questo è ridotto al minimo, quando : x EX Sigma 2 E sigma 2 E Cov x, Sigma 2 XE sigma 2 Così egli consrained soluion è: x se se E Cov x, Sigma 2 x 1, E Sigma 2 1 E Cov x, Sigma 2 x, E Sigma 2 E Cov X, Sigma 2 X, oherwise. E Sigma 2 (7) Dove Cov X, Sigma 2 è lui covarianza beween relaive volume di X e la varianza dei prezzi calzino sigma 2. In markes finanziari lieraure ha posiive relaionship beween volumi Rading e volailiy è un fac sylized, vedere Con 7, Clark 6 e Aneacute e Geman 3. Pertanto, dal momento che expecaion di EX volumi relaive è monoonically in aumento e ha covarianza beween volumi relaive e varianza è non-negaive Cov X, Sigma 2, egli minimo soluion rischio (EQN 7) è fattibile. Noe ha sotto gli assumpion ha lui relaive il volume e la varianza dei prezzi calzino sono varianza prezzo independen o calzino è una gallina funcion deerminisic lui covarianza ERM è pari a zero e si sraegy minimo rischio si riduce o si expecaion di lui relaive volume di x E X. 4.5 non removibile rischio residuo di VWAP rading rischio residuo è lui limite inferiore del rischio VWAP ha canno essere eliminaed scegliendo un Rading sraegy x. Subsiuion di eqn 7 ino eqn 6 dà egli segue legato a lui residua varianza VWAP: min x Varv (x) TEX 2 sigma 2 EX sigma 2 2 E sigma 2 d 16 18 Se il prezzo volailiy si presume circsigma Consan 2 sigma 2, gallina ha espressione di cui sopra semplifica o che segue: min x Varv (x) circsigma 2 T varX d Utilizzando lui ridimensionamento nella proprietà di varX trovato sopra a lui NYSE daa (vedi secion 3) rischio gallina residua VWAP è proporional o ha esimaed calzino varianza diviso per lui finale rade Coun K o ha power.44. min x Varv (x) Contro circsigma 2 K.44 Quindi un calzino colpa del 1 imes lui rade Corte dei anoher calzino wih simile varianza dei prezzi ha approximaely uno-ENH lui residuo rischio VWAP. 4.6 Opimal VWAP Sraegy wih Expeced Drif In pracise un Rader può desiderare o bea VWAP. Questo è ragionevole, perché egli VWAP Rader può avere prezzo informaion sensiive abou un calzino. Un broker può allo sfrutta la sua informaion privae perché benefi della sua clien da adoping un VWAP Rading sraegy x ettaro è più rischioso minimo han varianza sraegy. Questo drif opimal sraegy x può essere trovato usando approccio media-varianza. Per definieness egli VWAP ordine assunto o sia un ordine di acquisto nel suo documento. Così marke Beaing è definito come un EV expecaion posiive (x). L'espansione ha expecaion e noing ha lui maringale ransform ha zero expecaion: EV (x) E (X x) da E (X x) dm E (X x) da La covariaion quadraic beween ha coninuous prezzo drif A e lui processo di volume relaive è pari a zero X, una perdita wihou herefore di generaliy 17 19 ha covarianza beween drif prezzo e di volume relaive possono essere assunte o pari a zero, cova, X. Denoing micro EA, ha expecaion di lui VWAP piacerebbe ritornare può essere semplificata o che segue: EV (x) T (EX x) micro D (8) In generale, ha opimal VWAP sraegy è alcun minimo rischio VWAP sraegy lui di secion 4.4 perché la sua sraegy fa non comprende che expeced piacerebbe ritornare di lui VWAP rade. Un sraegy ha comprende piacerebbe ritornare expeced può essere specificato come un classico opimizaion media-varianza utilizzando un Rader specificato avversione al rischio Consan lambda. x EV max (x) lambda Var V (x) x 1 Risoluzione per il suo problema opimizaion: x max E (X x) dp x 1 lambda Var (X x) dp min lambda x 1 E (X x) 2 sigma 2 ( x x) micro d lambda min x 1 (x) 2 micro d 2lambdaE sigma 2 Quanto sopra è ridotto al minimo quando: x EX Sigma 2 E sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 E Cov x, Sigma 2 x Esigma 2 micro 2lambdaE Sigma 2 (9 ) Il consrained soluion o opimal VWAP sraegy wih drif: 18 20 se x se E Cov x, Sigma 2 XE sigma 2 E Cov x, Sigma 2 XE sigma 2 E Cov x, Sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 micro sigma 2lambdaE 2 micro 2lambdaE Sigma 2, 1, 1, oherwise. (1) Un esempio di Drif Opimal VWAP Trading Un semplice esempio di opimally fron-caricamento e back-caricamento ha VWAP rading sraegy o allo sfrutta expeced drif prezzo è illusraed con l'esempio opimizing sraegies wih boh posiive e negaive expeced drif prezzo. Negli esempi ueste ha VWAP periodo è una T giorno 1. Il drif expeced EA è assunto o essere un semplice funcion lineare di ime come ha ha calzino eiher los 2 o guadagnato 2 da lui fine ha rading giorno micro plusmn.2. Il volailiy calzino (sd dev.) È un Consan 2 (Sigma 2 circsigma 2 .2 2). Avversione al rischio coefficien lambda Wih assumpions ueste ha opimal DRIF politiche Rading di eqn 1 sono: x se E X plusmn.7 1, 1 se E X plusmn.7, E X plusmn.7, oherwise. Mi è chiaro da che nell'esempio precedente ha ha opimal sraegies per drif shif ha opimal sraegy verso l'alto (fron-carico) per un posiive expeced drif EX GT e verso il basso (back-carico) per un negaive expeced drif EX lt. Questi sraegies opimal hanno disconinuiies A e 1 in cui il volume è insanly acquisito. Questo è unrealisic perché assume ettari 19 21 ha Marke può fornire liquidiy insan e eliminaes ha cenral virue del VWAP Rading, disribuing domanda liquidiy oltre che VWAP periodo in modo tale da o minimizzare insananeous domanda liquidiy Opimal VWAP Trading wih Consrained Trading Rae Il soluion è aggiungere un addiional consrain o ha problema opimizaion da seing un limite superiore o ha insananeous liquidiy domanda nu max. Questo consrain liquidiy può essere specificato come segue: dx dv max Il sraegy opimal qui è consruced con lui sare D di sraegies fattibile x come recangular a (x,) spazio wih poin LEF superiore di un (1), e superiore righ-poin un (1, T), vedi figura 5. Il LEF x L e righ confini R x per regione D sono definite come inegrals di lui massima rading rae v max. x L vs max ds x R 1 T vs ds Max Tutti Poins o ha righ di x R e O lui LEF di x L sono ouside ha regione ammissibile D. Il sraegy opimal è o rade seguente sraegy unconsrained (9) all'interno di D UNIL uno di lui confini di D è encounered e gallina Rade un lui rae massima consentita. se E Cov X, Sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 x L, x L x se E Cov X, Sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 x R, X R (11) E Cov X, Sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE Sigma 2, oherwise. 2 22 Prova ettari (11) è lui opimal sraegy per VWAP problema rading wih liquidiy consrained è dato in appendice. L'esempio precedente è ri-considerato ora ime-dependen consrained liquidiy, dove si presume Rae massimo Rading o essere proporional o ha expecaion di lui rading rae di lui marke (ime-derivaive di EX) 1,8 x LD EX.6 x .4.2 unconsrained Rading sraegy x RT 1 Figura 5: Il VWAP sraegy opimal back-carico per liquidiy consrained rading nell'esempio. v max 2 d d E X L'resulan opimal VWAP Rading sraegy back-carichi di volume lungo x, mostrato nella Figura 5. 21 23 4.7 Bins - VWAP Sraegy Implemenaion Il opimal sraegies x discusso in precedenza sono coninuous. Tha è, mi si presume ettari ha VWAP Rader ha conrol complee oltre rading rajecory un qualsiasi momen di ime durante rading. Questo è unrealisic, Raders bisogno ime o implemen sraegy e trovano rading couner-partes o forniscono liquidiy. Al fine o modello VWAP wih uncerain Rading ha liquidiy un assumpion più debole è ADOTTATA può essere diviso il numero di periodi in cui ino Rader ha conrol oltre che media rading Rae durante ogni periodo. Tha è, egli Rader è sufficien conrol oltre rading o guaranee ha ha raded volume di un inizio e che alla fine di ogni periodo è pari o x. Questi periodi sono chiamati bidoni IME. Il acual rajecory x è generaed da un processo liquidiy casuale e potrebbe deviae da x dentro di sé bin bu sempre coincidono a è confini I Cos di un Subopimal VWAP Trading Sraegy Il VWAP bin rajecory x è subopimal e lui media-varianza cos di subopimal VWAP Rading sraegies C (x) è formulaed di seguito. C (x) () EV (x) lambdavarv (x) () EV (x) lambdavarv (x) E (xx) micro lambda (X x) 2 (X x) 2 sigma 2 d T (xx) (micro 2lambdaEsigma 2 x 2lambda Esigma 2 x) lambda (xx) 2 Esigma 2 d Noing ha lui quando ha acual rading rajecory coincide wih unconsrained opimal soluion wih drif (EQN 9) gallina egli abeti ERM in lui inegral è eliminaed e lui cos di un sraegy subopimal è semplificata. C (x) lambda T (xx) 2 Esigma 2 d (12) 22 24 4.7.2 Il Bounded Cos di un bidone Trading Sraegy scomparti sono progettati dividendo ha VWAP rading periodo, T periodi ino b ime wih lui imes bin al contorno per bin I denoed come tau i 1 e tau i. tau tau lt 1 lt lt tau i lt tau i1 lt lt Tau b T In consrucion x tau i 1 x tau i e x tau i x tau i. Dal momento che xe x non sono in diminuzione funcions ettari sono meno han o uguale o 1 ha deviaion beween orlo è limitato. xxx tau tau ix i 1 tau i, tau I 1 (13) Utilizzando (13) si ge da (12) ha seguito legato di cos addiional da bidoni C (tau tau 1. b) b (x tau tau ix I 1) i1 taui tau I 1 (micro 2lambda (Esigma 2 x Esigma 2 x)) db taui (x tau ix tau I 1) tau 2 i1 i 1 lambdaesigma 2 d (14) pari bins volume bidoni pari volume sono Ofen utilizzati da praciioners. Essi sono definiti come X (tau i) x (tau I 1) 1 bi Lo scomparto cos legato (14) per colpa del rading gallina rae unconsrained fiocchi si forma: C (tau tau 1. b) 23 1 b 2 lambda T Esigma 2 d (15) 25 così egli addiional rischio VWAP usare i contenitori di volume discree o rade VWAP dipende da lui numero di bin B come O (b 2) Opimal VWAP Bin Sraegy I bidoni opimal sono obained minimizzando ha legato (14) su vecor in bin imes contorno tau. L'ordine condiion abeti di opimaliy è. C (tau tau 1. b) tau k Differeniaing equaion 14 wih respec o ha vecor a bin confine imes tau dà: (2x tau tau ix I 1 x tau i1) (micro taui 2lambda (Esigma 2 tau i X taui Esigma 2 tau ix tau i)) d taui dtau x tau i (micro 2lambda (Esigma 2 x Esigma 2 x)) d tau i 1 taui1 tau I (micro 2lambda (Esigma 2 x Esigma 2 x)) d lambdasigmatau 2 ix tau I 1 ( x tau i 1 2x tau i) x tau i1 (x tau i1 2x tau i) 2lambda d taui taui1 dtau x tau i (x tau ix tau I 1) Esigma 2 d (tau i1 x tau i) tau x i 1 tau I Esigma 2 d (16) Risolvendo il suo equaion per tau che può essere visto come un operaion compuaional che riduce cos addiional bin-based variando tau i condiional su (come funcion di fisso) tau i 1 e tau i1. Mi viene applicata in modo ricorsivo o ha iniial SE di cassonetti IME (ad es contenitori uguali volumi) unil convergenza o ha opimal bidoni. 24 26 L'esempio in figura 5 PLoS ha confini bin di 1 bidoni volume uguale per lui liquidiy-consrained VWAP sraegy e 1 confini opimal bin obained applicando ricorsivamente migliorando operaion sono mostrati in figura 6. Il reducion in lui addiional rischio bin-based da si usa di opimal INSEAD di contenitori uguali volumi è 4.65..8.6 bidoni opimal coninuous soluion.4.2 bidoni uguali volumi di Figura 6: Il opimal sraegy egli esempio wih liquidiy consrained e corrisponda 1 bidoni pari volume e 1 bidoni opimal. 25 27 5 Conclusione e Riepilogo Questo documento si basa su lui carta da Hizuru Konishi 15 sviluppando una soluion o un problema di minimo opimal VWAP rischio Rading. Il processo di volume è o assunto essere marcato processo poin e lui processo prezzo o essere un semimaringale coninuous. I è disegnata ha VWAP è naurally definito con lui del volume relaive processo X, che è INRA giorni volumi cumulaive V diviso per OAL finale T. volume di X V V Il romanzo espressione per lui il rischio di VWAP Rading è derivato. Mi viene dimostrata l'ha il suo rischio non non dipende da lui prezzo drif. The minimum risk sraegy of VWAP rading is generalized ino a meanvariance opimal sraegy. This is useful when VWAP raders have price sensiive informaion ha can be exploied by a VWAP sraegy. The cos of exploiing price sensiive informaion is deviaion from he minimum risk VWAP rading sraegy by fron-loading or back-loading raded volume o exploi he expeced price movemen. I is shown ha even wih a minimum risk VWAP rading sraegy is implemened here is always a residual risk. This residual risk is shown o be proporional o he price variance circsigma 2 of he sock and he inverse of final rade coun K raised o he power.44. Higher rade coun socks have lower residual VWAP risk because he variance of he relaive volume process is lower for hese socks. A pracical VWAP rading sraegy using rading bins is consruced. The addiional VWAP risk from using discree volume bins o rade VWAP is esimaed. I is shown ha i depends on he number of bins b as O(b 2 ). 26 28 References 1 Ana Admai and Paul Pfleiderer, A Theory of Inraday Paerns: Volume and Price Variabiliy, Review of Financial Sudies 1 (1988), 3 4. 2 Juumlrgen Amendinger, Iniial enlargemen of filraions and addiional informaion in financial markes, Ph. D. hesis, Berlin Technical Universiy, Berlin, Germany, 3 Thierry Aneacute and Helyee Geman, Order flow, ransacion clock, and normaliy of asse reurns. 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March 21 version. 9 David Cox, Some Saisical Mehods Conneced wih Series of Evens (Wih Discussion), Journal of he Royal Saisical Sociey, B 17 (1955), 1 Rober Engle and Jeff Russell, The Auoregressive Condiional Duraion Model, Economerica 66 (1998), 11 Chrisian Gourieacuteroux, Joanna Jasiak, and Gaeumllle Le Fol, Inra-Day Marke Aciviy, Journal of Financial Markes 2 (1999), 12 Jean Jacod, Grossissemen Iniial, Hypohegravese e Theacuteoregraveme de Girsanov, Seacuteminaire de Calcul Sochasique 198283, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 13 Jean Jacod and Alber Shiryaev, Limi Theorems of Sochasic Processes, Springer, Berlin, 29 14 Thierry Jeulin, Semi-maringales e grossissemen d une filraion, Lecure Noes in Mahemaics 92, Springer (198). 15 Hizuru Konishi, Opimal slice of a VWAP rade, Journal of Financial Markes 5 (22), 16 James McCulloch, Relaive Volume as a Doubly Sochasic Binomial Poin Process, Quaniaive Finance 7 (27), 17 Phillip Proer, Sochasic Inegraion and Differenial Equaions, Springer, 25. 18 Tina Rydberg and Neil Shephard, BIN Models for Trade-by-Trade Daa. Modelling he Number of Trades in a Fixed Inerval of Time, Unpublished Paper. Available from he Nuffield College, Oxford Websie hp:nuff. ox. ac. uk. 19 Marc Yor, Grossissemen de filraions e absolue coninuieacute de noyaux, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 30 A Opimal VWAP Trading Sraegy wih Consrained Trading Rae Proof. Tha eqn 11 is he soluion he he opimal VWAP rading problem wih liquidiy consrained rading rae v v max. min x, v (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d (17) Subjec o dx d v, v v max, , T, x , x T 1. The case in Figure 7 is considered where he unconsrained rading sraegy of eqn 9 passes hrough he origin and inersecs wih he maximal rading line x R a R lt T. The proof for oher cases when he unconsrained sraegy xi inersecs wih oher he boundaries of D is idenical. x x x L D x R unconsrained rading sraegy R Figure 7: The feasible se D defined by consrains on he rae of rading and boundary condiions. The adjoin variable Psi, , T is calculaed by solving following he equaion: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (x 2lambdasigma 2 EX ), Psi R . (18) 29 31 Using inegraion by pars: Psi T x T Psi x T Psi v dpsi d x d . Afer adding his ideniy s lef side o VWAP mean-variance cos and dropping erms ha depend on fixed x and x T he problem of eqn 17 is ransformed o he following: min x, v Where: (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d min R(Psi, x, v ) d x, v (19) R(Psi, x, v ) micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX ) Psi v dpsi d x Consider he lef arc in x, when v dx d lt v max, and (, R ). Here he rhs of equaion in eqn 18 is zero and herefore Psi . I is easy o check ha: R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) , (, R ). Thus R has a minimum on x D a x x v v lt v max everywhere along lef arc of x. and on v , v max a Consider he righ arc of x, when v v max and ( R, T ). Here x is higher han he unconsrained rading sraegy xi defined by eqn 9. Afer decomposing x xi (x xi ) eqn 18 becomes: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (xi EX ) 2lambdasigma 2 (x xi ) 2lambdasigma 2 (x xi ) lt Since Psi R , Psi lt, ( R, T ). I is easy o check ha: 3 32 R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) Psi lt, ( R, T ) Thus R has minimum on x D a x x. By inspecion he funcion R is a linear funcion of v, so on v , v max i has minimum on v a v v v max everywhere along righ arc of x. Therefore x defined by eqn 11 and v dx d obey consrains in eqn 17 and minimize he inegral of he equivalen mean-variance cos crierion R on x and v a every momen of ime , T and so is he opimal soluion of eqnOptimal VWAP Trading Strategy and Relative Volume Volume Weighted Average Price (VWAP) for a stock is total traded value divided by total traded volume. It is a simple quality of execution measurement popular with institutional traders to measure the price impact of trading stock. This paper uses classic mean-variance optimization to develop VWAP strategies that attempt to trade at better than the market VWAP. These strategies exploit expected price drift by optimally front-loading or back-loading traded volume away from the minimum VWAP risk strategy. Se si verificano problemi durante il download di un file, controllare se si dispone l'applicazione corretta per vederlo prima. In caso di ulteriori problemi leggi le Idee Assistenza pagina. Si noti che questi file non sono sul sito IDEE. Si prega di essere paziente, come i file possono essere di grandi dimensioni. Paper provided by Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney in its series Research Paper Series with number 201.Optimal VWAP Tracking University of Texas at Austin - Red McCombs School of Business Jedrzej Pawel Bialkowski University of Canterbury - Department of Economics and Finance Stathis Tompaidis University of Texas at Austin - McCombs School of Business September 30, 2013 We consider the problem of finding a strategy that tracks the volume weighted average price (VWAP) of a stock, a key measure of execution quality for large orders used by institutional investors. We obtain the optimal, dynamic, VWAP tracking strategy in closed form in a model with general price and volume dynamics and show that it can be extended to incorporate proportional transaction costs. We build a model of intraday volume using the Trade and Quote dataset to empirically test the strategy, both without trading costs and when trading has temporary effects that include the bid-ask spread and depth of the order book, and permanent effects that reflect the potential information content of trades. We find that the implementation cost of the strategy we propose is lower than the cost charged by brokerage houses. Number of Pages in PDF File: 66 Keywords: Volume Weighted Average Price, Algorithmic Trading, Trading Volume, Trading Costs, Dynamic Programming JEL Classification: G12, G29, C61 Date posted: October 1, 2013 Suggested Citation